# 最小可变质量模型的状态稳定性与转换收支

作者：UFT Labs  
日期：2026 年 10 月 23 日  
研究类型：经典解析研究与无量纲数值核验

## 1 结果与适用范围

在已经选定的最小模型中，**普通真空与零质量真空均为局部稳定的均匀状态；一般中间低质量值不是无驱动平衡态；物质参与后，必须区分固定密度的状态场稳定性与允许密度变化的全系统稳定性。** 无压力物质与状态场耦合时存在聚集不稳定，因此“有效势曲率为正”不能直接证明整块物质稳定。

转换的能量来自或流向控制源、状态场、电磁场和物质本身。封闭系统的总能量与总动量守恒。均匀时间调制可以改变粒子能量和速度，不能改变其动量；空间调制可以交换动量，相应反作用由场和装置承担。

本研究固定此前的构成函数，不把待证明的工程效果加入公理。采用平直或局部弱引力近似，研究经典扰动；不包含量子隧穿、热跃迁、强引力坍缩或真实材料束缚态。普通、低质量和零质量描述的是粒子的静止质量参数，不等于宏观系统的总不变质量。独立零流场若与物质没有相互作用，不能改变下面的稳定性或收支结论。

## 2 模型与稳定性的判据

取自然单位 \(c=\hbar=1\)，号差 \((-+++)\)，主模型取 \(Y=0\)：

\[
\mathcal L_f=-\frac{f^2}{2}\partial_\mu\chi\partial^\mu\chi-U(\chi)-\frac{Z(\chi)}4F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},
\]

\[
m(\chi)=m_0(1-\chi)^2,\qquad U(\chi)=\Lambda^4\chi^2(1-\chi)^2,\qquad Z(\chi)=e^{\beta\chi},\qquad f>0.
\]

这里 \(\chi\) 是实标量；作用量没有附加 \(0\leq\chi\leq1\) 的硬约束。下文用这一范围描述两真空之间的转换，但振荡允许暂时超出该范围，质量仍非负。

对中性试验粒子：

\[
H=\sqrt{\mathbf p^2+m(\chi)^2},\qquad
\dot{\mathbf x}=\frac{\mathbf p}{H},\quad
\dot{\mathbf p}=-\frac{m m'}H\nabla\chi,\quad
\frac{dH}{dt}=\frac{m m'}H\partial_t\chi.
\]

最后一式的右侧使用场的**偏时间导数**，不能换成沿轨迹的 \(d\chi/dt\)。后者还包含由动量变化补偿的空间梯度贡献。

设约束条件给出的有效势为 \(V\)。必须先满足 \(V'(\chi_*)=0\)，才能围绕常值状态求线性谱：

\[
f^2(\partial_t^2-\nabla^2)\eta+V''(\chi_*)\eta=0,
\qquad \omega^2=k^2+\frac{V''(\chi_*)}{f^2}.
\]

曲率为正表示这个受限标量扰动问题的线性稳定；曲率为负时，足够长波出现指数增长；曲率为零需要更高阶分析。无耗散 Hamilton 系统中的稳定通常表现为有界振荡，而不是自动收敛到静止状态。

## 3 无物质反作用、无电磁背景的三类状态

\[
U'=2\Lambda^4\chi(1-\chi)(1-2\chi),\qquad
U''=2\Lambda^4(1-6\chi+6\chi^2).
\]

| 状态 | 场值 | 质量比 | 是否为平衡态 | 稳定性 |
|---|---:|---:|---|---|
| 普通真空 | \(0\) | \(1\) | 是 | 局部线性稳定 |
| 势垒顶 | \(1/2\) | \(1/4\) | 是 | 长波不稳定 |
| 一般低质量值 | \(0<\chi<1\)，排除 \(1/2\) | \((1-\chi)^2\) | 否 | 不能当作静态相判稳 |
| 零质量真空 | \(1\) | \(0\) | 是 | 局部线性稳定 |

普通真空和零质量真空均有：

\[
\omega^2=k^2+\mu^2,\qquad \mu^2=\frac{2\Lambda^4}{f^2}>0.
\]

二次扰动能量为正：

\[
E^{(2)}_\chi=\frac12\int\left[f^2\dot\eta^2+f^2|\nabla\eta|^2+2\Lambda^4\eta^2\right]d^3x.
\]

两背景的电磁动能系数分别为 \(1\) 和 \(e^\beta>0\)。零电磁背景下电磁扰动与标量扰动在二次阶解耦，电磁波的动能符号正常。因此这里的稳定不是仅检查质量函数的正负。

势垒顶满足：

\[
\omega^2=k^2-\frac{\Lambda^4}{f^2},\qquad
\Gamma(k)=\sqrt{\frac{\Lambda^4}{f^2}-k^2}quad (k<\Lambda^2/f).
\]

一般中间场值的 \(U'\neq0\)。例如 \(\chi=0.9\) 时，\(m/m_0=0.01\)，但 \(U'/\Lambda^4=-0.144\)，故在初始静止的均匀场中 \(\ddot\chi=0.144\Lambda^4/f^2\)。它开始向 \(1\) 运动，随后会越过 \(1\) 并振荡；没有阻尼或主动抽取能量就不会停住。

零质量真空附近令 \(\chi=1+\eta\)：

\[
m=m_0\eta^2,\qquad U=\Lambda^4(\eta^2+2\eta^3+\eta^4).
\]

因此小扰动不会导致负质量，但一般会生成二阶小的非零质量。“零质量状态附近稳定”不意味着有噪声时质量永远精确为零。

## 4 加入物质后的平衡与稳定性

### 4.1 固定密度、固定动量分布的标量检验

在均匀体积中固定粒子数密度及各粒子的正则动量分布，可写：

\[
V_{\rm eff}(\chi)=U(\chi)+\int d^3p\,N(\mathbf p)\sqrt{p^2+m(\chi)^2}.
\]

其导数为：

\[
V_{\rm eff}'=U'+\int d^3p\,N\frac{m m'}H,
\]

\[
V_{\rm eff}''=U''+\int d^3p\,N\left[\frac{(m')^2+m m''}H-\frac{m^2(m')^2}{H^3}\right].
\]

这些式子依赖所固定的分布；若保持温度、化学势或其他条件不变，须建立相应热力学势，不能直接沿用。

### 4.2 冷物质的解析解

对 \(p=0\)、\(m>0\) 的固定密度冷物质，定义 \(\rho_0=nm_0\) 和 \(r=\rho_0/\Lambda^4\)。受限有效势为：

\[
V_c=\Lambda^4(1-\chi)^2(\chi^2+r),
\qquad V_c'=-2\Lambda^4(1-\chi)[\chi(2\chi-1)+r].
\]

除 \(\chi=1\) 外，驻点为：

\[
\chi_- =\frac{1-\sqrt{1-8r}}4,\qquad
\chi_+ =\frac{1+\sqrt{1-8r}}4.
\]

当 \(0<r<1/8\)，\(\chi_-\) 为普通态附近的局部极小值，\(\chi_+\) 为势垒顶。精确 \(\chi=0\) 已不再是平衡态，因为 \(V_c'(0)=-2\rho_0\)。

当 \(r=1/8\)，两驻点在 \(\chi=1/4\) 合并，曲率为零但三阶导数不为零，是局部极小值消失的临界点，不是稳健的稳定态。\(r>1/8\) 时普通态分支消失。普通态稳定分支的质量满足：

\[
\frac{m_*}{m_0}=(1-\chi_-)^2>\frac9{16}
\]

（\(9/16\) 是临界极限）。因此该冷物质受限模型不能沿稳定普通分支连续降到任意小质量。

局部极小值到势垒顶的能量密度差可精确求得：

\[
V_c(\chi_+)-V_c(\chi_-)=\frac{\Lambda^4}{16}(1-8r)^{3/2}.
\]

数值例：\(r=0.05\) 时 \(\chi_-=0.05635083\)，\(m_*/m_0=0.89047375\)，势垒高度为 \(0.02904738\Lambda^4\)。

形式上的 \(V_c''(1)=2\Lambda^4+2\rho_0>0\) 是冷能量函数的曲率。然而冷粒子在 \(m=p=0\) 时 \(H=0\)，不能由它构造非零能量的光速物质。物理上的零质量传播须使用下一节的非零动量支。

### 4.3 非零动量的零质量支

取等动量大小 \(p>0\) 的均匀分布，令 \(q=p/m_0\)：

\[
\frac{V_p}{\Lambda^4}=\chi^2(1-\chi)^2+r\sqrt{q^2+(1-\chi)^4}.
\]

在 \(\chi=1+\eta\) 附近：

\[
\frac{V_p}{\Lambda^4}=rq+\eta^2+2\eta^3+
\left(1+\frac r{2q}\right)\eta^4+O(\eta^8).
\]

零质量背景仍是标量局部极小值，曲率为 \(2\Lambda^4\)。粒子具有 \(H=p>0\) 与 \(|\mathbf v|=1\)，且物质—标量线性耦合在此端点消失。不能把 \(q\to0\) 后的展开与严格冷极限交换。

非端点驻值条件为：

\[
\chi(1-2\chi)=\frac{r(1-\chi)^2}{\sqrt{q^2+(1-\chi)^4}}.
\]

当 \(r>0\) 时，\(1/2<\chi<1\) 的左侧为负、右侧为正，故这一深低质量范围内没有额外的固定分布静态平衡。有限动量下普通分支消失的阈值可通过该式的切点求得；例如 \(q=0.3\) 时 \(r_{\rm fold}=0.14252899\)，\(\chi_{\rm fold}=0.27052443\)。这说明冷阈值 \(1/8\) 不能推广到所有动量分布。

### 4.4 允许物质密度变化时的聚集不稳定

对普通分支的均匀冷尘背景 \((\chi_*,n_0,\mathbf v=0)\)，令 \(m_*=m(\chi_*)>0\)，\(K=U''(\chi_*)+n_0m''(\chi_*)\)。忽略引力，保留密度扰动和速度扰动：

\[
\partial_t\delta n+n_0\nabla\cdot\mathbf v=0,\qquad
\partial_t\mathbf v=-\frac{m'_*}{m_*}\nabla\eta,
\]

\[
f^2(\partial_t^2-\nabla^2)\eta+K\eta+m'_*\delta n=0.
\]

因此纵向耦合模满足：

\[
\omega^4-\left(k^2+\frac K{f^2}\right)\omega^2-Ck^2=0,
\qquad C=\frac{n_0(m'_*)^2}{f^2m_*}>0.
\]

\[
\omega_-^2=\frac12\left[k^2+\frac K{f^2}-\sqrt{\left(k^2+\frac K{f^2}\right)^2+4Ck^2}\right]<0\quad(k>0).
\]

**所以无压力、可自由聚集的冷尘背景即使 \(K>0\)，也存在增长模。** 在本质量函数下 \(C=4n_0m_0/f^2\)，适用前提仍是 \(m_*>0\)，不得用冷尘速度方程外推到零质量端点。

如果额外引入正声速 \(c_s\) 的压力闭合，色散式变为：

\[
\left(\omega^2-k^2-\frac K{f^2}\right)(\omega^2-c_s^2k^2)-Ck^2=0.
\]

在 \(K>0\) 条件下，两支均非负要求：

\[
c_s^2\left(k^2+\frac K{f^2}\right)\geq C.
\]

这是指定流体闭合下的判据；实际材料的弹性、压力和约束装置必须另行建模。零质量、非零动量物质在零电磁背景下的一阶标量耦合消失，但其自身束缚态、碰撞和引力稳定性不由此得到证明。

## 5 控制背景能否稳定低质量状态

### 5.1 一般控制力的必要条件

以广义源 \(h\) 示范控制，在局部均匀方程中写：

\[
f^2\ddot\chi+U'=h,\qquad V_h=U-h\chi.
\]

恒定设定值 \(\chi_L\) 需要 \(h=U'(\chi_L)\)，且固定 \(h\) 下需 \(U''(\chi_L)>0\)。后者成立的区间为：

\[
\chi_L<\frac{3-\sqrt3}{6}\quad\text{或}\quad
\chi_L>\frac{3+\sqrt3}{6}.
\]

在转换支上，这对应 \(\chi_L<0.21132487\) 或 \(\chi_L>0.78867513\)。例如保持 \(\chi_L=0.9\) 需 \(h=-0.144\Lambda^4\)，此时 \(U''=0.92\Lambda^4>0\)。撤除该源后它会振荡，不能保持精确低质量。

普通分支在正向恒定源达到 \(h_c=\Lambda^4/(3\sqrt3)\) 时失去局部极小值；反向转换对应负号。这是理想线性源的静态分支阈值，不是电磁装置的能耗或电压阈值。

若源有反馈 \(h(\chi)\)，有效刚度应改成 \(U''-h'\)；若还存在延迟和动力学自由度，则须分析控制器与场的共同谱。用一个所需的 \(h\) 值不能证明发生器可实现。

### 5.2 电磁控制的约束条件

对于 \(Z=e^{\beta\chi}\)，固定电位移 \(\mathbf D=Z\mathbf E\) 和磁感应 \(\mathbf B\) 的局部均匀能量为：

\[
V_{DB}=U+\rho_m+\frac{D^2}{2Z}+\frac{ZB^2}{2}.
\]

\[
V_{DB}'=U'+\rho_m'+\frac\beta2\left(ZB^2-\frac{D^2}{Z}\right),
\qquad
V_{DB}''=U''+\rho_m''+\frac{\beta^2}{2}\left(ZB^2+\frac{D^2}{Z}\right).
\]

这里最后一项为正，但必须同时满足驻值条件。通常纯电场或纯磁场会把端点从 \(0\) 或 \(1\) 推开。在 \(\beta\neq0\)、非零动量物质的零质量端点，保持精确 \(\chi=1\) 需要 \(D^2=e^{2\beta}B^2\) 或另一个源补偿。

若电源保持电场不变，适用于均匀固定几何控制的源包含在内的势为：

\[
V_{EB}=U+\rho_m-\frac{ZE^2}{2}+\frac{ZB^2}{2},\qquad
V_{EB}''=U''+\rho_m''+\frac{\beta^2Z}{2}(B^2-E^2).
\]

负电项来自电源做功的 Legendre 变换；不能把这一势误当成电磁场本身的正能量。固定电荷与固定电压可有不同的稳定性。真实空间扰动还受 Maxwell 约束、边界和源电路响应限制，以上曲率不是完整装置谱。

## 6 有限区域稳定性与转换势垒

无源纯标量静态三维有限区域的能量为 \(E_{\rm grad}+E_U\)。缩放 \(\chi(\mathbf x)\to\chi(\mathbf x/\lambda)\) 给出：

\[
E(\lambda)=\lambda E_{\rm grad}+\lambda^3E_U,
\qquad E'(1)=E_{\rm grad}+3E_U>0.
\]

故均匀零质量真空稳定，并不意味着放在普通真空中的有限零质量区域可以自持。简并真空的薄壁泡具有：

\[
\sigma=\frac{\sqrt2}{6}f\Lambda^2,\qquad E(R)=4\pi\sigma R^2,
\]

表面张力使它收缩。若新的物质或控制条件产生体能差 \(\Delta u<0\)，薄壁近似有：

\[
E(R)=4\pi\sigma R^2+\frac{4\pi}{3}\Delta uR^3,
\quad R_c=\frac{2\sigma}{|\Delta u|},\quad E_c=\frac{16\pi\sigma^3}{3\Delta u^2}.
\]

\(R_c\) 是不稳定的临界核，而不是稳定舱体。这里 \(\sigma\) 的无偏值只适用于体能偏置足够小、壁形变化可忽略的近似；一般情况要重算壁结构。

无源均匀单自由度的真空势垒为 \(U(1/2)-U(0)=\Lambda^4/16\)。这描述无驱动时越过势垒所需的最低机械能密度，不是任意受控转换的不可回收耗能，也不是有限三维装置的总输入功。

## 7 能量与动量的精确交换账目

定义物质标量源及电磁标量源：

\[
J_m(\mathbf x,t)=\sum_a\frac{m_am'_a}{H_a}\delta^3(\mathbf x-\mathbf x_a),\qquad
S_{\rm EM}=\frac{Z'}2(B^2-E^2).
\]

在无外部电流的中性系统中：

\[
\partial_tu_m+\nabla\cdot\mathbf S_m=J_m\dot\chi,
\]

\[
\partial_tu_\chi+\nabla\cdot\mathbf S_\chi=-(J_m+S_{\rm EM})\dot\chi,
\]

\[
\partial_tu_{\rm EM}+\nabla\cdot\mathbf S_{\rm EM}^{\,(\rm energy)}=S_{\rm EM}\dot\chi.
\]

其中：

\[
u_\chi=\frac{f^2}{2}(\dot\chi^2+|\nabla\chi|^2)+U,\quad
\mathbf S_\chi=-f^2\dot\chi\nabla\chi,\quad
u_{\rm EM}=\frac Z2(E^2+B^2),\quad
\mathbf S_{\rm EM}^{\,(\rm energy)}=Z\mathbf E\times\mathbf B.
\]

三项交换功率逐点相消。有驱动电源和控制器时，加入它们的能量及相应交换项。

同一局部惯性系中，各部分的动量源分别为：

\[
\mathbf f_m=-J_m\nabla\chi,\qquad
\mathbf f_\chi=(J_m+S_{\rm EM})\nabla\chi,\qquad
\mathbf f_{\rm EM}=-S_{\rm EM}\nabla\chi.
\]

因此对一个控制体：

\[
\frac{dE_{\rm tot}}{dt}=-\oint\mathbf S_{\rm tot}\cdot d\mathbf A,
\qquad
\frac{dP^i_{\rm tot}}{dt}=-\oint T^{ji}_{\rm tot}n_j\,dA.
\]

闭合或周期边界没有净通量时，两者均守恒。对动态强引力时空，不能直接将这两个平直空间积分当作普遍的全局能量定义；本节的适用近似已在第 1 节限定。

## 8 具体转换过程的收支

### 8.1 空间均匀的时间转换

若 \(\nabla\chi=0\)，则 \(\mathbf p_f=\mathbf p_i\)，粒子能量变化精确等于：

\[
\Delta E_m=\sqrt{p^2+m_f^2}-\sqrt{p^2+m_i^2}.
\]

普通态进入零质量平台时：

\[
\Delta E_m=p-\sqrt{p^2+m_0^2}<0\quad(p>0).
\]

速度提高的同时，粒子能量降低。这部分能量进入场或控制源；恢复相同质量和动量必须归还能量。恢复 SI 形式只需使用 \(H=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\)。

取 \(m_0=1,p=0.3\)：

| 状态 | \(\chi\) | \(m\) | \(H\) | \(v\) |
|---|---:|---:|---:|---:|
| 普通 | 0 | 1 | 1.04403065 | 0.28734789 |
| 深低质量 | 0.9 | 0.01 | 0.30016662 | 0.99944491 |
| 零质量 | 1 | 0 | 0.3 | 1 |
| 恢复 | 0 | 1 | 1.04403065 | 0.28734789 |

每粒子进入平台释放 \(0.74403065\)，恢复时返还相同能量，净动量变化为零。若初始 \(p=0\)，均匀调制保持 \(p=0\)；在端点得到的是 \(H=0\) 的退化极限，不能说粒子自动选方向以光速出发。

### 8.2 显式计入状态场动能的受控循环

设 \(c=\hbar=f=\Lambda=m_0=1\)，固定均匀密度 \(n=0.1\)，每粒子 \(p=0.3\)。用 \(q(s)=6s^5-15s^4+10s^3\)，在 \(0\leq t\leq10\) 升到 \(\chi=1\)，保持到 \(t=15\)，再在 \(15\leq t\leq25\) 返回 \(0\)。

同时计算：

\[
\mathcal E_{\rm sub}=\frac12\dot\chi^2+U+nH,
\quad h(t)=\ddot\chi+U'+n\frac{m m'}H,
\quad \frac{d\mathcal E_{\rm sub}}{dt}=h(t)\dot\chi.
\]

这里 \(h\) 是由指定轨迹反算的理想广义驱动；它证明所需功率的账目能够闭合，未证明电磁发生器能实现这条路径。积分控制源功率，得到：

| 量 | 无量纲结果 |
|---|---:|
| 初始场加粒子能量密度 | 0.104403065089 |
| 平台能量密度 | 0.030000000000 |
| 进入阶段外源对系统做功 | -0.074403065089 |
| 恢复阶段外源对系统做功 | +0.074403065089 |
| 完整循环净功 | 数值上约 \(0\) |
| 过程中状态场动能密度最大值 | 0.017578125 |

负功意味着控制源吸收能量。状态场在中途仍储存动能和势能，不能仅用端点粒子能量差描述瞬时所需驱动。该算例没有耗散；真实有损循环需从外界补充不可回收的损耗。

本次用 DOP853 独立积分 \(h\dot\chi\)，并与端点及全过程 Hamilton 能量核对；最大绝对差 \(4.54\times10^{-16}\) 以下，已受浮点舍入限制，不作为理论物理精度声明。恒定均匀场不携带空间动量，固定粒子动量使该受限循环的动量账目直接闭合。

### 8.3 静态空间转换

若 \(\partial_t\chi=0\)，则粒子能量守恒：

\[
H_f=H_i,\qquad p_f^2=p_i^2+m_i^2-m_f^2.
\]

质量下降可以增大动量大小；方向和可通行性仍由具体梯度与初值决定。若恢复区要求 \(m_f>H_i\)，会出现经典不可通行区和反射。场或固定装置承受相反冲量；外部支撑若被固定，支撑也是动量库。

这与均匀时间转换具有不同的能量—动量分配：时间转换保持动量、交换能量；静态空间转换保持能量、交换动量。一般时空依赖控制同时交换二者。

## 9 数值核验与可复算文件

本次实际运行了 [check_stability.py](check_stability.py)，结果保存于 [data/results.json](data/results.json)。计算包含五项符号恒等式、冷态驻点与曲率、有限动量普通分支消失阈值、三组无驱动标量轨迹，以及包含场动能的受控循环功率积分。CSV 给出实际积分轨迹。

无驱动 \(\chi(0)=0.9,\dot\chi(0)=0\) 在 \(0\leq t\leq30\) 中的取值约为 \([0.9,1.08309517]\)，直接显示超越零质量点后的振荡。允许密度扰动的冷尘例取 \(r=0.05,k=0.1\)，得到 \(\omega_-^2=-0.00135754\)，增长率 \(0.03684482\)。后一数值来自解析色散根，并以完整四变量线性矩阵的本征值独立核对；不是完整空间演化仿真。

复算环境依赖 NumPy、SciPy、SymPy；绘图另需 Matplotlib。执行 `python check_stability.py`。全部数值为模型无量纲示例，尚无实验参数标定。

![固定密度下的能量景观及无驱动振荡](figures/stability.png)

图 1：左图的局部极小值只表示固定密度曲率条件；右图显示低质量初值在无阻尼条件下越过零质量点并振荡。

![显式状态场能量与循环做功](figures/cycle.png)

图 2：状态场与粒子总能量变化等于外源做功；瞬时外源功与粒子能量变化之间的差额由状态场储能承担。所有量均为无量纲。

## 10 明确结论

1. **普通状态：**空场普通真空稳定；加入物质后平衡点移动，普通分支可消失。固定密度的局部极小值不保证自由冷物质整体稳定，冷尘耦合具有聚集增长模。
2. **低质量状态：**模型没有一整段无驱动静态低质量相。势垒顶不稳定；其余中间值通常会演化。特定控制源可以建立稳定设定值，但需共同分析控制器、物质与电磁扰动。
3. **零质量状态：**均匀空场端点在经典小扰动下稳定；非零动量物质可在此具有非零能量并光速传播。有限零质量区域一般会受边界张力影响，宏观结构稳定性尚未建立。
4. **转换收支：**降质量释放的粒子能量必须记入场或控制源；恢复质量需要返还。动量变化须由其他自由度或边界通量补偿。完成一个所有储能自由度均复原的理想闭合循环，没有净能量产出，也没有净总动量增长。

本补充稿继承阶段一至六报告的作用量约定，新增固定物质背景的分支消失条件、冷尘密度扰动判据与显式场动能的循环收支核验；尚未把它们提升为三维装置或载人飞行的稳定性证明。