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稳定性与转换收支
Stability and conversion accounting

区分状态场稳定、物质聚集与有限区域；闭合转换收支。

Distinguishing field stability, matter clustering and finite regions, with conversion accounting.

UFT Labs2026 · CLASSICAL EFFECTIVE RESEARCH

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稳定性改变了研究方向
Stability changed the direction of research

势能极小、物质稳定、有限区域稳定，是三个不同的问题。

A potential minimum, stable matter and a stable finite region are different questions.

V1 状态 V1 state	判定 Finding	成立范围 Scope
普通真空 χ = 0 Ordinary vacuum χ = 0	局部线性稳定 Locally linearly stable	无物质反作用、无电磁背景 No matter backreaction or EM background
势垒顶 χ = 1/2 Barrier top χ = 1/2	长波不稳定 Unstable at long wavelengths	均匀驻点的小扰动 Perturbations of the homogeneous stationary point
一般中间低质量值 Generic intermediate low-mass value	通常不是静态平衡 Generally not a static equilibrium	需要控制源或持续动态演化 Requires a controller or continuing evolution
零质量真空 χ = 1 Massless vacuum χ = 1	局部线性稳定 Locally linearly stable	不保证有限区域或宏观结构稳定 Does not establish finite-region or macroscopic stability

V1 固定密度冷有效势与无阻尼振荡。χ(0) = 0.9 的状态越过零质量点，而非自动停住。固定密度的极小值也不能排除冷尘的聚集增长模。 / V1 fixed-density cold effective potentials and undamped motion. A state starting at χ(0) = 0.9 crosses the massless point rather than settling automatically. A fixed-density minimum also does not exclude clustering modes in freely moving cold dust. — FIG. 06
V1 固定密度冷有效势与无阻尼振荡。χ(0) = 0.9 的状态越过零质量点，而非自动停住。固定密度的极小值也不能排除冷尘的聚集增长模。
V1 fixed-density cold effective potentials and undamped motion. A state starting at χ(0) = 0.9 crosses the massless point rather than settling automatically. A fixed-density minimum also does not exclude clustering modes in freely moving cold dust.

\chi_- =\frac{1-\sqrt{1-8r}}4,\qquad r=\frac{nm_0}{\Lambda^4}<\frac18

这是 V1 冷物质固定密度普通分支。密度达到临界值时分支消失；允许密度扰动后，还出现标量诱导的聚集模。这些问题推动了 V3：让普通态本身成为质量耦合的极小值。

This is V1’s ordinary branch for fixed-density cold matter. It disappears at a critical density; allowing density perturbations also produces scalar-induced clustering. These weaknesses motivated V3: make the ordinary state a local minimum of the mass coupling itself.

V1 零质量端点：固定非零动量与同时趋零的动量具有不同极限；有限动量下的质量梯度转向力趋零。 / V1 massless endpoint: fixed nonzero momentum and simultaneously vanishing momentum have different limits. At finite momentum, the mass-gradient turning force vanishes near the endpoint. — FIG. 07
V1 零质量端点：固定非零动量与同时趋零的动量具有不同极限；有限动量下的质量梯度转向力趋零。
V1 massless endpoint: fixed nonzero momentum and simultaneously vanishing momentum have different limits. At finite momentum, the mass-gradient turning force vanishes near the endpoint.

转换必须支付什么
What conversion must account for

区分粒子、场和控制源，也区分时间控制与空间控制。

Distinguish the particle, fields and controller—and temporal from spatial control.

V1 指定时间背景下的进入、平台与恢复。绿色区为零质量平台；图中的控制源增益按粒子能量交换计算。 / Entry, plateau and restoration in V1 under a prescribed time-dependent background. Green marks the massless plateau; controller gain is computed from particle-energy exchange. — FIG. 03
V1 指定时间背景下的进入、平台与恢复。绿色区为零质量平台；图中的控制源增益按粒子能量交换计算。
Entry, plateau and restoration in V1 under a prescribed time-dependent background. Green marks the massless plateau; controller gain is computed from particle-energy exchange.

时间控制

Temporal control

动量不变，交换能量

Fixed momentum, exchanged energy

\nabla\chi=0\ \Rightarrow\ \mathbf p_f=\mathbf p_i

m₀ = 1、p = 0.3 时，粒子能量从 1.04403065 降到 0.3，释放 0.74403065；恢复同一质量和动量需要返还相同能量。

For m₀ = 1 and p = 0.3, particle energy falls from 1.04403065 to 0.3, releasing 0.74403065. Restoring the same mass and momentum requires the same energy back.

空间控制

Spatial control

能量不变，交换动量

Fixed energy, exchanged momentum

\partial_t\chi=0\ \Rightarrow\ H_f=H_i

静态质量梯度可以改变粒子动量，场或装置承担反冲。初始静止粒子不会通过空间均匀的时间调制自动获得出发方向。

A static mass gradient can change particle momentum, with recoil carried by the field or apparatus. A spatially uniform time modulation does not automatically launch an initially resting particle.

后续循环计算显式计入状态场动能和势能。外源做功与场加粒子总能量变化一致；完整理想循环净功为零。 / The follow-up cycle explicitly includes scalar kinetic and potential energy. External work equals the change in field-plus-particle energy; the ideal full cycle has zero net work. — FIG. 04
后续循环计算显式计入状态场动能和势能。外源做功与场加粒子总能量变化一致；完整理想循环净功为零。
The follow-up cycle explicitly includes scalar kinetic and potential energy. External work equals the change in field-plus-particle energy; the ideal full cycle has zero net work.

含动态控制场的一维闭合算例。试样动量变化由场补偿。系统初始即有非零场动量，且只是弱激发的低维示例。 / A closed 1D example with dynamical control fields. Field momentum compensates sample changes. The system starts with nonzero field momentum and is only a weakly excited, low-dimensional example. — FIG. 05
含动态控制场的一维闭合算例。试样动量变化由场补偿。系统初始即有非零场动量，且只是弱激发的低维示例。
A closed 1D example with dynamical control fields. Field momentum compensates sample changes. The system starts with nonzero field momentum and is only a weakly excited, low-dimensional example.

降低粒子质量，不会免除
全系统的能量与动量账目。

Reducing a particle’s mass does not remove
the system’s energy–momentum balance.

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以下为中文完整研究稿。双语介绍与关键结果见上方；切换为英文时全文默认折叠。

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最小可变质量模型的状态稳定性与转换收支

作者：UFT Labs
日期：2026 年 10 月 23 日
研究类型：经典解析研究与无量纲数值核验

1 结果与适用范围

在已经选定的最小模型中，普通真空与零质量真空均为局部稳定的均匀状态；一般中间低质量值不是无驱动平衡态；物质参与后，必须区分固定密度的状态场稳定性与允许密度变化的全系统稳定性。无压力物质与状态场耦合时存在聚集不稳定，因此“有效势曲率为正”不能直接证明整块物质稳定。

转换的能量来自或流向控制源、状态场、电磁场和物质本身。封闭系统的总能量与总动量守恒。均匀时间调制可以改变粒子能量和速度，不能改变其动量；空间调制可以交换动量，相应反作用由场和装置承担。

本研究固定此前的构成函数，不把待证明的工程效果加入公理。采用平直或局部弱引力近似，研究经典扰动；不包含量子隧穿、热跃迁、强引力坍缩或真实材料束缚态。普通、低质量和零质量描述的是粒子的静止质量参数，不等于宏观系统的总不变质量。独立零流场若与物质没有相互作用，不能改变下面的稳定性或收支结论。

2 模型与稳定性的判据

取自然单位 $c=\hbar=1$ ，号差 $(-+++)$ ，主模型取 $Y=0$ ：

\mathcal L_f=-\frac{f^2}{2}\partial_\mu\chi\partial^\mu\chi-U(\chi)-\frac{Z(\chi)}4F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},

m(\chi)=m_0(1-\chi)^2,\qquad U(\chi)=\Lambda^4\chi^2(1-\chi)^2,\qquad Z(\chi)=e^{\beta\chi},\qquad f>0.

这里 $\chi$ 是实标量；作用量没有附加 $0\leq\chi\leq1$ 的硬约束。下文用这一范围描述两真空之间的转换，但振荡允许暂时超出该范围，质量仍非负。

对中性试验粒子：

H=\sqrt{\mathbf p^2+m(\chi)^2},\qquad \dot{\mathbf x}=\frac{\mathbf p}{H},\quad \dot{\mathbf p}=-\frac{m m'}H\nabla\chi,\quad \frac{dH}{dt}=\frac{m m'}H\partial_t\chi.

最后一式的右侧使用场的偏时间导数，不能换成沿轨迹的 $d\chi/dt$ 。后者还包含由动量变化补偿的空间梯度贡献。

设约束条件给出的有效势为 $V$ 。必须先满足 $V'(\chi_*)=0$ ，才能围绕常值状态求线性谱：

f^2(\partial_t^2-\nabla^2)\eta+V''(\chi_*)\eta=0, \qquad \omega^2=k^2+\frac{V''(\chi_*)}{f^2}.

曲率为正表示这个受限标量扰动问题的线性稳定；曲率为负时，足够长波出现指数增长；曲率为零需要更高阶分析。无耗散 Hamilton 系统中的稳定通常表现为有界振荡，而不是自动收敛到静止状态。

3 无物质反作用、无电磁背景的三类状态

U'=2\Lambda^4\chi(1-\chi)(1-2\chi),\qquad U''=2\Lambda^4(1-6\chi+6\chi^2).

状态	场值	质量比	是否为平衡态	稳定性
普通真空	$0$	$1$	是	局部线性稳定
势垒顶	$1/2$	$1/4$	是	长波不稳定
一般低质量值	$0<\chi<1$ ，排除 $1/2$	$(1-\chi)^2$	否	不能当作静态相判稳
零质量真空	$1$	$0$	是	局部线性稳定

普通真空和零质量真空均有：

\omega^2=k^2+\mu^2,\qquad \mu^2=\frac{2\Lambda^4}{f^2}>0.

二次扰动能量为正：

E^{(2)}_\chi=\frac12\int\left[f^2\dot\eta^2+f^2|\nabla\eta|^2+2\Lambda^4\eta^2\right]d^3x.

两背景的电磁动能系数分别为 $1$ 和 $e^\beta>0$ 。零电磁背景下电磁扰动与标量扰动在二次阶解耦，电磁波的动能符号正常。因此这里的稳定不是仅检查质量函数的正负。

势垒顶满足：

\omega^2=k^2-\frac{\Lambda^4}{f^2},\qquad \Gamma(k)=\sqrt{\frac{\Lambda^4}{f^2}-k^2}quad (k<\Lambda^2/f).

一般中间场值的 $U'\neq0$ 。例如 $\chi=0.9$ 时， $m/m_0=0.01$ ，但 $U'/\Lambda^4=-0.144$ ，故在初始静止的均匀场中 $\ddot\chi=0.144\Lambda^4/f^2$ 。它开始向 $1$ 运动，随后会越过 $1$ 并振荡；没有阻尼或主动抽取能量就不会停住。

零质量真空附近令 $\chi=1+\eta$ ：

m=m_0\eta^2,\qquad U=\Lambda^4(\eta^2+2\eta^3+\eta^4).

因此小扰动不会导致负质量，但一般会生成二阶小的非零质量。“零质量状态附近稳定”不意味着有噪声时质量永远精确为零。

4 加入物质后的平衡与稳定性

4.1 固定密度、固定动量分布的标量检验

在均匀体积中固定粒子数密度及各粒子的正则动量分布，可写：

V_{\rm eff}(\chi)=U(\chi)+\int d^3p\,N(\mathbf p)\sqrt{p^2+m(\chi)^2}.

其导数为：

V_{\rm eff}'=U'+\int d^3p\,N\frac{m m'}H,

V_{\rm eff}''=U''+\int d^3p\,N\left[\frac{(m')^2+m m''}H-\frac{m^2(m')^2}{H^3}\right].

这些式子依赖所固定的分布；若保持温度、化学势或其他条件不变，须建立相应热力学势，不能直接沿用。

4.2 冷物质的解析解

对 $p=0$ 、 $m>0$ 的固定密度冷物质，定义 $\rho_0=nm_0$ 和 $r=\rho_0/\Lambda^4$ 。受限有效势为：

V_c=\Lambda^4(1-\chi)^2(\chi^2+r), \qquad V_c'=-2\Lambda^4(1-\chi)[\chi(2\chi-1)+r].

除 $\chi=1$ 外，驻点为：

\chi_- =\frac{1-\sqrt{1-8r}}4,\qquad \chi_+ =\frac{1+\sqrt{1-8r}}4.

当 $0<r<1/8$ ， $\chi_-$ 为普通态附近的局部极小值， $\chi_+$ 为势垒顶。精确 $\chi=0$ 已不再是平衡态，因为 $V_c'(0)=-2\rho_0$ 。

当 $r=1/8$ ，两驻点在 $\chi=1/4$ 合并，曲率为零但三阶导数不为零，是局部极小值消失的临界点，不是稳健的稳定态。 $r>1/8$ 时普通态分支消失。普通态稳定分支的质量满足：

\frac{m_*}{m_0}=(1-\chi_-)^2>\frac9{16}

（ $9/16$ 是临界极限）。因此该冷物质受限模型不能沿稳定普通分支连续降到任意小质量。

局部极小值到势垒顶的能量密度差可精确求得：

V_c(\chi_+)-V_c(\chi_-)=\frac{\Lambda^4}{16}(1-8r)^{3/2}.

数值例： $r=0.05$ 时 $\chi_-=0.05635083$ ， $m_*/m_0=0.89047375$ ，势垒高度为 $0.02904738\Lambda^4$ 。

形式上的 $V_c''(1)=2\Lambda^4+2\rho_0>0$ 是冷能量函数的曲率。然而冷粒子在 $m=p=0$ 时 $H=0$ ，不能由它构造非零能量的光速物质。物理上的零质量传播须使用下一节的非零动量支。

4.3 非零动量的零质量支

取等动量大小 $p>0$ 的均匀分布，令 $q=p/m_0$ ：

\frac{V_p}{\Lambda^4}=\chi^2(1-\chi)^2+r\sqrt{q^2+(1-\chi)^4}.

在 $\chi=1+\eta$ 附近：

\frac{V_p}{\Lambda^4}=rq+\eta^2+2\eta^3+ \left(1+\frac r{2q}\right)\eta^4+O(\eta^8).

零质量背景仍是标量局部极小值，曲率为 $2\Lambda^4$ 。粒子具有 $H=p>0$ 与 $|\mathbf v|=1$ ，且物质—标量线性耦合在此端点消失。不能把 $q\to0$ 后的展开与严格冷极限交换。

非端点驻值条件为：

\chi(1-2\chi)=\frac{r(1-\chi)^2}{\sqrt{q^2+(1-\chi)^4}}.

当 $r>0$ 时， $1/2<\chi<1$ 的左侧为负、右侧为正，故这一深低质量范围内没有额外的固定分布静态平衡。有限动量下普通分支消失的阈值可通过该式的切点求得；例如 $q=0.3$ 时 $r_{\rm fold}=0.14252899$ ， $\chi_{\rm fold}=0.27052443$ 。这说明冷阈值 $1/8$ 不能推广到所有动量分布。

4.4 允许物质密度变化时的聚集不稳定

对普通分支的均匀冷尘背景 $(\chi_*,n_0,\mathbf v=0)$ ，令 $m_*=m(\chi_*)>0$ ， $K=U''(\chi_*)+n_0m''(\chi_*)$ 。忽略引力，保留密度扰动和速度扰动：

\partial_t\delta n+n_0\nabla\cdot\mathbf v=0,\qquad \partial_t\mathbf v=-\frac{m'_*}{m_*}\nabla\eta,

f^2(\partial_t^2-\nabla^2)\eta+K\eta+m'_*\delta n=0.

因此纵向耦合模满足：

\omega^4-\left(k^2+\frac K{f^2}\right)\omega^2-Ck^2=0, \qquad C=\frac{n_0(m'_*)^2}{f^2m_*}>0.

\omega_-^2=\frac12\left[k^2+\frac K{f^2}-\sqrt{\left(k^2+\frac K{f^2}\right)^2+4Ck^2}\right]<0\quad(k>0).

所以无压力、可自由聚集的冷尘背景即使 $K>0$ ，也存在增长模。 在本质量函数下 $C=4n_0m_0/f^2$ ，适用前提仍是 $m_*>0$ ，不得用冷尘速度方程外推到零质量端点。

如果额外引入正声速 $c_s$ 的压力闭合，色散式变为：

\left(\omega^2-k^2-\frac K{f^2}\right)(\omega^2-c_s^2k^2)-Ck^2=0.

在 $K>0$ 条件下，两支均非负要求：

c_s^2\left(k^2+\frac K{f^2}\right)\geq C.

这是指定流体闭合下的判据；实际材料的弹性、压力和约束装置必须另行建模。零质量、非零动量物质在零电磁背景下的一阶标量耦合消失，但其自身束缚态、碰撞和引力稳定性不由此得到证明。

5 控制背景能否稳定低质量状态

5.1 一般控制力的必要条件

以广义源 $h$ 示范控制，在局部均匀方程中写：

f^2\ddot\chi+U'=h,\qquad V_h=U-h\chi.

恒定设定值 $\chi_L$ 需要 $h=U'(\chi_L)$ ，且固定 $h$ 下需 $U''(\chi_L)>0$ 。后者成立的区间为：

\chi_L<\frac{3-\sqrt3}{6}\quad\text{或}\quad \chi_L>\frac{3+\sqrt3}{6}.

在转换支上，这对应 $\chi_L<0.21132487$ 或 $\chi_L>0.78867513$ 。例如保持 $\chi_L=0.9$ 需 $h=-0.144\Lambda^4$ ，此时 $U''=0.92\Lambda^4>0$ 。撤除该源后它会振荡，不能保持精确低质量。

普通分支在正向恒定源达到 $h_c=\Lambda^4/(3\sqrt3)$ 时失去局部极小值；反向转换对应负号。这是理想线性源的静态分支阈值，不是电磁装置的能耗或电压阈值。

若源有反馈 $h(\chi)$ ，有效刚度应改成 $U''-h'$ ；若还存在延迟和动力学自由度，则须分析控制器与场的共同谱。用一个所需的 $h$ 值不能证明发生器可实现。

5.2 电磁控制的约束条件

对于 $Z=e^{\beta\chi}$ ，固定电位移 $\mathbf D=Z\mathbf E$ 和磁感应 $\mathbf B$ 的局部均匀能量为：

V_{DB}=U+\rho_m+\frac{D^2}{2Z}+\frac{ZB^2}{2}.

V_{DB}'=U'+\rho_m'+\frac\beta2\left(ZB^2-\frac{D^2}{Z}\right), \qquad V_{DB}''=U''+\rho_m''+\frac{\beta^2}{2}\left(ZB^2+\frac{D^2}{Z}\right).

这里最后一项为正，但必须同时满足驻值条件。通常纯电场或纯磁场会把端点从 $0$ 或 $1$ 推开。在 $\beta\neq0$ 、非零动量物质的零质量端点，保持精确 $\chi=1$ 需要 $D^2=e^{2\beta}B^2$ 或另一个源补偿。

若电源保持电场不变，适用于均匀固定几何控制的源包含在内的势为：

V_{EB}=U+\rho_m-\frac{ZE^2}{2}+\frac{ZB^2}{2},\qquad V_{EB}''=U''+\rho_m''+\frac{\beta^2Z}{2}(B^2-E^2).

负电项来自电源做功的 Legendre 变换；不能把这一势误当成电磁场本身的正能量。固定电荷与固定电压可有不同的稳定性。真实空间扰动还受 Maxwell 约束、边界和源电路响应限制，以上曲率不是完整装置谱。

6 有限区域稳定性与转换势垒

无源纯标量静态三维有限区域的能量为 $E_{\rm grad}+E_U$ 。缩放 $\chi(\mathbf x)\to\chi(\mathbf x/\lambda)$ 给出：

E(\lambda)=\lambda E_{\rm grad}+\lambda^3E_U, \qquad E'(1)=E_{\rm grad}+3E_U>0.

故均匀零质量真空稳定，并不意味着放在普通真空中的有限零质量区域可以自持。简并真空的薄壁泡具有：

\sigma=\frac{\sqrt2}{6}f\Lambda^2,\qquad E(R)=4\pi\sigma R^2,

表面张力使它收缩。若新的物质或控制条件产生体能差 $\Delta u<0$ ，薄壁近似有：

E(R)=4\pi\sigma R^2+\frac{4\pi}{3}\Delta uR^3, \quad R_c=\frac{2\sigma}{|\Delta u|},\quad E_c=\frac{16\pi\sigma^3}{3\Delta u^2}.

$R_c$ 是不稳定的临界核，而不是稳定舱体。这里 $\sigma$ 的无偏值只适用于体能偏置足够小、壁形变化可忽略的近似；一般情况要重算壁结构。

无源均匀单自由度的真空势垒为 $U(1/2)-U(0)=\Lambda^4/16$ 。这描述无驱动时越过势垒所需的最低机械能密度，不是任意受控转换的不可回收耗能，也不是有限三维装置的总输入功。

7 能量与动量的精确交换账目

定义物质标量源及电磁标量源：

J_m(\mathbf x,t)=\sum_a\frac{m_am'_a}{H_a}\delta^3(\mathbf x-\mathbf x_a),\qquad S_{\rm EM}=\frac{Z'}2(B^2-E^2).

在无外部电流的中性系统中：

\partial_tu_m+\nabla\cdot\mathbf S_m=J_m\dot\chi,

\partial_tu_\chi+\nabla\cdot\mathbf S_\chi=-(J_m+S_{\rm EM})\dot\chi,

\partial_tu_{\rm EM}+\nabla\cdot\mathbf S_{\rm EM}^{\,(\rm energy)}=S_{\rm EM}\dot\chi.

其中：

u_\chi=\frac{f^2}{2}(\dot\chi^2+|\nabla\chi|^2)+U,\quad \mathbf S_\chi=-f^2\dot\chi\nabla\chi,\quad u_{\rm EM}=\frac Z2(E^2+B^2),\quad \mathbf S_{\rm EM}^{\,(\rm energy)}=Z\mathbf E\times\mathbf B.

三项交换功率逐点相消。有驱动电源和控制器时，加入它们的能量及相应交换项。

同一局部惯性系中，各部分的动量源分别为：

\mathbf f_m=-J_m\nabla\chi,\qquad \mathbf f_\chi=(J_m+S_{\rm EM})\nabla\chi,\qquad \mathbf f_{\rm EM}=-S_{\rm EM}\nabla\chi.

因此对一个控制体：

\frac{dE_{\rm tot}}{dt}=-\oint\mathbf S_{\rm tot}\cdot d\mathbf A, \qquad \frac{dP^i_{\rm tot}}{dt}=-\oint T^{ji}_{\rm tot}n_j\,dA.

闭合或周期边界没有净通量时，两者均守恒。对动态强引力时空，不能直接将这两个平直空间积分当作普遍的全局能量定义；本节的适用近似已在第 1 节限定。

8 具体转换过程的收支

8.1 空间均匀的时间转换

若 $\nabla\chi=0$ ，则 $\mathbf p_f=\mathbf p_i$ ，粒子能量变化精确等于：

\Delta E_m=\sqrt{p^2+m_f^2}-\sqrt{p^2+m_i^2}.

普通态进入零质量平台时：

\Delta E_m=p-\sqrt{p^2+m_0^2}<0\quad(p>0).

速度提高的同时，粒子能量降低。这部分能量进入场或控制源；恢复相同质量和动量必须归还能量。恢复 SI 形式只需使用 $H=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ 。

取 $m_0=1,p=0.3$ ：

状态	$\chi$	$m$	$H$	$v$
普通	0	1	1.04403065	0.28734789
深低质量	0.9	0.01	0.30016662	0.99944491
零质量	1	0	0.3	1
恢复	0	1	1.04403065	0.28734789

每粒子进入平台释放 $0.74403065$ ，恢复时返还相同能量，净动量变化为零。若初始 $p=0$ ，均匀调制保持 $p=0$ ；在端点得到的是 $H=0$ 的退化极限，不能说粒子自动选方向以光速出发。

8.2 显式计入状态场动能的受控循环

设 $c=\hbar=f=\Lambda=m_0=1$ ，固定均匀密度 $n=0.1$ ，每粒子 $p=0.3$ 。用 $q(s)=6s^5-15s^4+10s^3$ ，在 $0\leq t\leq10$ 升到 $\chi=1$ ，保持到 $t=15$ ，再在 $15\leq t\leq25$ 返回 $0$ 。

同时计算：

\mathcal E_{\rm sub}=\frac12\dot\chi^2+U+nH, \quad h(t)=\ddot\chi+U'+n\frac{m m'}H, \quad \frac{d\mathcal E_{\rm sub}}{dt}=h(t)\dot\chi.

这里 $h$ 是由指定轨迹反算的理想广义驱动；它证明所需功率的账目能够闭合，未证明电磁发生器能实现这条路径。积分控制源功率，得到：

量	无量纲结果
初始场加粒子能量密度	0.104403065089
平台能量密度	0.030000000000
进入阶段外源对系统做功	-0.074403065089
恢复阶段外源对系统做功	+0.074403065089
完整循环净功	数值上约 $0$
过程中状态场动能密度最大值	0.017578125

负功意味着控制源吸收能量。状态场在中途仍储存动能和势能，不能仅用端点粒子能量差描述瞬时所需驱动。该算例没有耗散；真实有损循环需从外界补充不可回收的损耗。

本次用 DOP853 独立积分 $h\dot\chi$ ，并与端点及全过程 Hamilton 能量核对；最大绝对差 $4.54\times10^{-16}$ 以下，已受浮点舍入限制，不作为理论物理精度声明。恒定均匀场不携带空间动量，固定粒子动量使该受限循环的动量账目直接闭合。

8.3 静态空间转换

若 $\partial_t\chi=0$ ，则粒子能量守恒：

H_f=H_i,\qquad p_f^2=p_i^2+m_i^2-m_f^2.

质量下降可以增大动量大小；方向和可通行性仍由具体梯度与初值决定。若恢复区要求 $m_f>H_i$ ，会出现经典不可通行区和反射。场或固定装置承受相反冲量；外部支撑若被固定，支撑也是动量库。

这与均匀时间转换具有不同的能量—动量分配：时间转换保持动量、交换能量；静态空间转换保持能量、交换动量。一般时空依赖控制同时交换二者。

9 数值核验与可复算文件

本次实际运行了 check_stability.py，结果保存于 data/results.json。计算包含五项符号恒等式、冷态驻点与曲率、有限动量普通分支消失阈值、三组无驱动标量轨迹，以及包含场动能的受控循环功率积分。CSV 给出实际积分轨迹。

无驱动 $\chi(0)=0.9,\dot\chi(0)=0$ 在 $0\leq t\leq30$ 中的取值约为 $[0.9,1.08309517]$ ，直接显示超越零质量点后的振荡。允许密度扰动的冷尘例取 $r=0.05,k=0.1$ ，得到 $\omega_-^2=-0.00135754$ ，增长率 $0.03684482$ 。后一数值来自解析色散根，并以完整四变量线性矩阵的本征值独立核对；不是完整空间演化仿真。

复算环境依赖 NumPy、SciPy、SymPy；绘图另需 Matplotlib。执行 python check_stability.py。全部数值为模型无量纲示例，尚无实验参数标定。

固定密度下的能量景观及无驱动振荡

图 1：左图的局部极小值只表示固定密度曲率条件；右图显示低质量初值在无阻尼条件下越过零质量点并振荡。

显式状态场能量与循环做功

图 2：状态场与粒子总能量变化等于外源做功；瞬时外源功与粒子能量变化之间的差额由状态场储能承担。所有量均为无量纲。

10 明确结论

**普通状态：**空场普通真空稳定；加入物质后平衡点移动，普通分支可消失。固定密度的局部极小值不保证自由冷物质整体稳定，冷尘耦合具有聚集增长模。
**低质量状态：**模型没有一整段无驱动静态低质量相。势垒顶不稳定；其余中间值通常会演化。特定控制源可以建立稳定设定值，但需共同分析控制器、物质与电磁扰动。
**零质量状态：**均匀空场端点在经典小扰动下稳定；非零动量物质可在此具有非零能量并光速传播。有限零质量区域一般会受边界张力影响，宏观结构稳定性尚未建立。
**转换收支：**降质量释放的粒子能量必须记入场或控制源；恢复质量需要返还。动量变化须由其他自由度或边界通量补偿。完成一个所有储能自由度均复原的理想闭合循环，没有净能量产出，也没有净总动量增长。

本补充稿继承阶段一至六报告的作用量约定，新增固定物质背景的分支消失条件、冷尘密度扰动判据与显式场动能的循环收支核验；尚未把它们提升为三维装置或载人飞行的稳定性证明。

V1 · METHODS

计算与复现报告

Calculations and reproducibility

记录方程、边界条件、收敛与误差的完整计算报告。

A detailed record of equations, boundary conditions, convergence and error diagnostics.

↗V2 · SYNTHESIS

统一候选框架 V2

Unified candidate framework V2

建立重大物理问题覆盖表，审查统一解释中的缺口。

A map of major physics questions and an audit of gaps in the unification proposal.

↗V3 · CANDIDATE

质量耦合与势能 V3

Mass coupling and potential V3

普通态退耦、有限零质量分支与真实 DESI BAO 检验。

Ordinary-state decoupling, finite massless branches and an actual DESI BAO test.

↗

稳定性与转换收支Stability and conversion accounting

稳定性改变了研究方向Stability changed the direction of research

转换必须支付什么What conversion must account for